+ محدودیت زمان: ۱ ثانیه + محدودیت حافظه: ۲۵۶ مگابایت ---------- اعداد صحیح $a$ و $b$ به شما داده می‌شود. از شما می‌خواهیم برنامه‌ای بنویسید که تعداد جواب‌های حقیقی معادله‌ی زیر را مشخص کند. $$ax + b = 0$$ + اگر این معادله **دقیقا یک جواب** دارد، عبارت `unique` را چاپ کنید. + اگر این معادله **بی‌شمار جواب** دارد، عبارت `infinite` را چاپ کنید. + اگر این معادله **هیچ جوابی** ندارد، عبارت `invalid` را چاپ کنید. # ورودی در سطر اول ورودی عدد صحیح $a$ و در سطر دوم ورودی عدد صحیح $b$ داده می‌شود. $$-100 \leq a, b \leq 100$$ # خروجی در تنها سطر خروجی، یکی از سه عبارت فوق را چاپ کنید. # مثال ## ورودی نمونه ۱ ``` 2 -3 ``` ## خروجی نمونه ۱ ``` unique ``` معادله به صورت $$2x - 3 = 0$$ خواهد بود، که دقیقا یک جواب دارد و آن در $x = 1.5$ است. ## ورودی نمونه ۲ ``` 0 7 ``` ## خروجی نمونه ۲ ``` invalid ``` معادله به صورت $$0 \times x + 7 = 0$$ خواهد بود، که هیچ جوابی ندارد. ## ورودی نمونه ۳ ``` 0 0 ``` ## خروجی نمونه ۳ ``` infinite ``` معادله به صورت $$0 \times x + 0 = 0$$ خواهد بود، که هر عدد حقیقی جواب آن است، پس بی‌شمار پاسخ دارد.

+ محدودیت زمان: ۱ ثانیه + محدودیت حافظه: ۲۵۶ مگابایت ---------- شکل زیر یک مربع به ضلع $a$ است که از هر یک از راس‌های این مربع، یک دایره به شعاع $a$ رسم کرده‌ایم. می‌خواهیم مساحت ناحیه‌ی مشترک بین این چهار دایره را محاسبه کنیم.  # ورودی در تنها خط ورودی یک عدد صحیح $a$ داده شده است. $$1 \le a \le 100$$ # خروجی در تنها خط خروجی یک عدد اعشاری که برابر با پاسخ مسئله است را چاپ کنید. پاسخ شما باید حداقل تا ۶ رقم بعد از اعشار دقیق باشد. # مثال ## ورودی نمونه ۱ ``` 1 ``` ## خروجی نمونه ۱ ``` 0.315146743627720412 ``` ## ورودی نمونه ۲ ``` 2 ``` ## خروجی نمونه ۲ ``` 1.260586974510881647 ``` ## ورودی نمونه ۳ ``` 10 ``` ## خروجی نمونه ۳ ``` 31.514674362772041179 ```

+ محدودیت زمان: ۱ ثانیه + محدودیت حافظه: ۲۵۶ مگابایت ---------- عدد صحیح و مثبت $k$ داده شده است، یک عدد طبیعی مانند $n$ پیدا کنید که: $$0 \leq \sin(n^{rad}) \leq \frac{1}{k}$$ توجه کنید $n$ برحسب **رادیان** است. برای مثال: $$\sin(1^{rad}) \approx 0.8414709848, \quad \quad \sin(30^{rad}) \approx -0.98803162409$$ لازم بذکر است که نیازی نیست مقدار $n$ کمینه باشد. می‌توان ثابت کرد که به ازای هر $k$ طبیعی، چنین عدد طبیعی مثل $n$ وجود دارد که در شرط بالا صدق می‌کند و $n \leq 10^9$ است. از شما می‌خواهیم یکی از این مقادیر $n$ را به دلخواه چاپ کنید. # ورودی در تنها سطر ورودی عدد طبیعی $k$ به شما داده می‌شود. $$1 \leq k \leq 100 \, 000$$ # خروجی در تنها سطر خروجی $n$ را چاپ کنید. $$1 \leq n \leq 10^9$$ # مثال‌ها ## ورودی نمونه ۱ ``` 1 ``` ## خروجی نمونه ۱ ``` 1 ``` $$0 \leq sin(1) \approx 0.8414709848 \leq \frac{1}{1} = 1.0$$ ## ورودی نمونه ۲ ``` 2 ``` ## خروجی نمونه ۲ ``` 3 ``` $$0 \leq sin(3) \approx 0.14112000806 \leq \frac{1}{2} = 0.5$$ ## ورودی نمونه ۳ ``` 7 ``` ## خروجی نمونه ۳ ``` 3 ``` $$0 \leq sin(3) \approx 0.14112000806 \leq \frac{1}{7} \approx 0.1428571428$$

+ محدودیت زمان: ۱ ثانیه + محدودیت حافظه: ۲۵۶ مگابایت ---------- به یک عدد صحیح مثل $a$، اتومورفیک می‌گوییم اگر در هر بار ضرب کردن $a$ در خودش، عدد $a$ در سمت راست عدد حاصل ظاهر شود. برای مثال عدد ۶ یک عدد اتومورفیک است. چون در هر چندبار ضرب کردن آن در خودش، خودش در سمت راست عدد حاصل ظاهر می‌شود. از شما می‌خواهیم برنامه‌ای بنویسید که با دریافت عدد $k$، $k$امین عدد «اتومورفیک» را چاپ کند. # ورودی در تنها سطر ورودی عدد طبیعی و مثبت $k$ آمده است. $$1 \leq k \leq 36$$ # خروجی در تنها سطر خروجی، $k$امین عدد اتومورفیک را چاپ کنید. # مثال ## ورودی نمونه ۱ ``` 1 ``` ## خروجی نمونه ۱ ``` 0 ``` $$0^2 = 0, \quad\quad 0^3 = 0, \quad\quad \dots$$ ## ورودی نمونه ۲ ``` 2 ``` ## خروجی نمونه ۲ ``` 1 ``` $$1^2 = 0, \quad \quad 1^3 = 1, \quad\quad \dots$$ ## ورودی نمونه ۳ ``` 3 ``` ## خروجی نمونه ۳ ``` 5 ``` $$5^2 = 25, \quad \quad 5^3 = 125, \quad\quad \dots$$ ## ورودی نمونه ۴ ``` 7 ``` ## خروجی نمونه ۴ ``` 376 ``` $$376^2 = 141376, \quad \quad 376^3 = 53157376, \quad\quad \dots$$

+ محدودیت زمان: ۱ ثانیه + محدودیت حافظه: ۲۵۶ مگابایت ---------- عدد صحیح و مثبت $a$ به شما داده شده است. از شما می‌خواهیم عدد صحیح و مثبتی را مثل $k$ پیدا کنید که عدد $ak$ در مبنای ده، فقط از یک تشکیل شده باشد. اگر چند $k$ با این خاصیت وجود دارد، یکی را به‌دلخواه چاپ کنید. # ورودی در تنها سطر ورودی عدد صحیح و مثبت $a$ آمده است. $$1 \leq a \leq 100 \, 000$$ # خروجی در تنها سطر خروجی عدد صحیح $k$ که پاسخ مسئله است را چاپ کنید. اگر چند $k$ با این خاصیت وجود دارد یکی را به دلخواه چاپ کنید. $$1 \leq k \leq 10^{1000 \, 000}$$ اگر چنین عددی وجود ندارد `-1` را چاپ کنید. # مثال ## ورودی نمونه ۱ ``` 1 ``` ## خروجی نمونه ۱ ``` 1 ``` ارقام این عدد فقط از $1$ تشکیل شده است. $$a.k = 1 \times 1 = 1$$ ## ورودی نمونه ۲ ``` 2 ``` ## خروجی نمونه ۲ ``` -1 ``` چون مقدار $a$ برابر $2$ است. مقدار $a.k$ همواره زوج خواهد بود. پس رقم یکان آن هیچ‌وقت $1$ نمی‌شود. ## ورودی نمونه ۳ ``` 3 ``` ## خروجی نمونه ۳ ``` 37 ``` $$a.k = 3 \times 37 = 111$$