مسابقهی الگوریتمی شمارهی ۴۴، یک مسابقه آموزشی هست که با هدف تمرین و یادگیری بیشتر برای شما طراحی شده.
این مسابقه شامل ۵ سؤال الگوریتمی هست.
حل سؤالات این مسابقه بر روی امتیاز کوئرایی شما تأثیر نداره.
زمان برگزاری مسابقه، سهشنبه ۷ تیر ساعت ۲۰ هست و شما ۲ ساعت زمان دارید تا به سؤالات پاسخ بدید.
ثبتنام این مسابقه در صفحه مسابقه الگوریتمی شماره ۴۴ انجام میشه و تا ۷ام تیر برای ثبتنام فرصت دارید.
راهحلهای این مسابقه، بلافاصله بعد از پایان مسابقه در همین پست منتشر میشن و شما میتونید از اونها برای حل سؤالات مسابقه در بانک سؤالات استفاده کنید.
اگر مقدار a ناصفر باشد، معادله جواب یکتا دارد (x=a−b). اما اگر مقدار a برابر صفر باشد، در صورتی که b ناصفر باشد، معادله هیچ جوابی ندارد و در غیر این صورت (یعنی a و b هر دو صفر باشند) این معادله بیشمار جواب دارد.
همان طور که انتظار میرود، راهحل اولیهی این سؤال کمی پیچیده است. بیاید مساحت قسمتهای مختلف را حساب کرده و قدمبهقدم به جواب نزدیک شویم.
ناحیهی سبز یک قطاع ۶۰ درجه از دایرهای به شعاع a است. بنابراین مساحت ناحیهی سبز برابر است با:
36060πa2=6πa2
ناحیهی بنفش یک مثلث متساویالاضلاع به ضلع a است. بنابراین مساحت ناحیهی بنفش برابر است با:
43a2
ناحیهی گنبدی شکل از دو برابر جمع ناحیهی سبزرنگ منهای ناحیهی بنفش بدست میآید. بنابراین مساحت این ناحیه برابر است با:
2(61πa2)−43a2=(3π−43)a2
ناحیهی صورتی یک قطاع ۹۰ درجه از دایرهای به شعاع a است و مساحت آن برابر است با:
36090πa2=4πa2
ناحیهی زردرنگ را میتوان مربعی در نظر گرفت که مساحت دو قطاع ۹۰ درجه از آن کم و مساحت یک گنبد به آن اضافه شده است. بنابراین مساحت این نوار زرد برابر است با:
ناحیهی نارنجی را میتوان به صورت یک مربع در نظر گرفت که مساحت یک قطاع ۹۰ درجه از دایره و دو ناحیهی زردرنگ از آن کم شده است. بنابراین مساحت این ناحیه برابر است با:
مساحت ناحیهی حسابشده در ورودی نمونهی اول برای مربعی به ضلع ۱ داده شده است. برای اینکه جواب را برای مربعی به ضلع a حساب کنیم، کافی است جواب ورودی نمونهی اول را در a2 ضرب کنیم.
توجه کنید سیستم داوری انتظار دارد جواب شما تا ۶ رقم بعد از اعشار درست باشد. باتوجه به خطای گردکردن اعداد و محدودیت a، باید حداقل جواب نمونهی اول را تا دقت ۶ + ۴ + ۱ = ۱۱ رقم بردارید.
شرط لازم و کافی وجود چنین مضربی برای a این است که gcd(a,10) برابر ۱ باشد. (یعنی عامل ۲ یا ۵ نداشته باشد)
اثبات اعداد زیر را در نظر بگیرید:
r1=1r2=11r3=111…ra=11…1…
اگر در یکی از اعداد r1 تا ra عددی مضرب a باشد، مسئله تمام میشود. اما اگر هیچکدام مضرب a نباشند، دو عدد صحیح i و j چنان موجود است که:
i<j,a∣rj−ri=10i×rj−i
اما چون میدانیم a نسبت به ۱۰ اول است داریم:
a∣rj−i
و این تناقض نشان میدهد که همواره چنین مضربی وجود دارد.
برای اعدادی مثل a که نسبت به ۱۰ اول نیستند هم میتوان گفت که چنین مضربی ندارند؛ چون اگر a نسبت به ۱۰ اول نباشد، یا زوج است یا مضرب ۵ و این یعنی یکان آن نمیتواند ۱ باشد. پس چنین مضربی ندارد.
اگر به اثبات بالا توجه کنیم، متوجه میشویم که این مضرب برای a حداکثر aرقمی خواهد بود. بنابراین میتوان همهی اعدادی که ارقام آنها از ۱ تولید شدهاند را به پیمانه a حساب و عددی که باقیمانده آن بر a صفر است را پیدا کرده و بر a تقسیم کنیم تا جواب مسئله به دست آید.